integrale de x^2ln(9x) — solution étape par étape

1) Calculons l'intégrale :

\int(x^{2} \cdot \ln (9 x))dx

Pour

x^{2} \cdot \ln (9 x)

, on utilise l'intégration par parties :

\int(u1 \cdot v2')dx = u1 \cdot v2 - \int(u1' \cdot v2)dx

avec u1 =

\ln (9 x)

et v2' =

x^{2}

2) Dérivons u1 :

\frac{d}{d x} (\ln (9 x))

On applique la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (\ln (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \frac{1}{f}

avec f =

9 x

\frac{d}{d x} (9 x) \cdot \frac{1}{9 x}

ℹ

\frac{d}{d x} (9 x) \cdot \frac{1}{9 x}

\frac{\frac{d}{d x} (9 x)}{9 x}

‖

\frac{d}{d x} (9 x)

9

\frac{9}{9 x}

\frac{1}{x}

Donc

u1'

correspond à

\frac{1}{x}

3) Calculons l'intégrale v2' :

\int(x^{2})dx

\frac{x^{3}}{3}

4) Évaluons

u1' \cdot v2

\frac{1}{x} \cdot \frac{x^{3}}{3}

ℹ

\frac{1}{x} \cdot \frac{x^{3}}{3}

\frac{x^{3}}{x \cdot 3}

‖

\frac{x^{3}}{x \cdot 3}

\frac{x^{2}}{3}

\frac{x^{2}}{3}

5) Intégrons

u1 \cdot v2 - \int(u1' \cdot v2)dx

\ln (9 x) \cdot \frac{x^{3}}{3} - \int(\frac{x^{2}}{3})dx

ℹ

\ln (9 x) \cdot \frac{x^{3}}{3}

\frac{\ln (9 x) \cdot x^{3}}{3}

‖

- \int(\frac{x^{2}}{3})dx

- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3}}{3}

\frac{\ln (9 x) \cdot x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3}}{3}

\frac{\ln (9 x) \cdot x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}

\frac{3 \cdot \ln (9 x) \cdot x^{3} - x^{3}}{9}

\frac{x^{3} \cdot (3 \cdot \ln (9 x) - 1)}{9}

▶Les intégrales indéfinies sont définies à une constante additive près C, ce qui donne :

\frac{x^{3} \cdot (3 \cdot \ln (9 x) - 1)}{9} + C