limite x->0+ x^{20x} — solution étape par étape

⚠Ⓘ x^{20x} est lu comme x^(20x) : utilisez ^(...) pour grouper un exposant, utilisez * pour multiplier

1) Calculons la limite de

x^{(20 x)}

lorsque

x \to 0

⁺

La limite de

20 x

est (

20 \cdot 0

)⁺ quand

x \to 0

⁺

⇥1.1) Évaluons :

20 \cdot 0

⇥

0

Pour :

x^{(20 x)}

, on tombe sur la limite indéterminée :

0^{0}

quand

x

tend vers

0

Pour une base positive, on réécrit

x^{(20 x)}

\exp (20 x \cdot \ln (x))

puis on étudie la limite de

20 x \cdot \ln (x)

La limite de

\ln (x)

est

-∞

quand

x \to 0

⁺

Pour :

20 x \cdot \ln (x)

, on tombe sur la limite indéterminée :

0 \cdot -∞

quand

x

tend vers

0

2) Pour lever la forme indéterminée 0 × ∞, on réécrit le produit

20 x \cdot \ln (x)

sous forme de quotient

\frac{\ln (x)}{\frac{1}{20 x}}

La limite de

\frac{1}{20 x}

est

+∞

quand

x \to 0

⁺

Pour

\frac{\ln (x)}{\frac{1}{20 x}}

, on obtient la forme indéterminée :

- \frac{+∞}{+∞}

lorsque

x

tend vers

0

3) On utilise la règle de l’Hôpital (limite de a/b = limite de a'/b') en calculant les dérivées du numérateur et du dénominateur :

Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} (\ln (x))

\frac{1}{x}

4) Dérivons :

\frac{d}{d x} (\frac{1}{20 x})

Pour

u1

1

v2

20 x

, on utilise la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (\frac{u1}{v2}) = \frac{\frac{d}{d x} (u1) \cdot v2 - u1 \cdot \frac{d}{d x} (v2)}{{v2}^{2}}

5) Effectuons la dérivation

u1

\frac{d}{d x} (1)

0

6) Effectuons la dérivation

v2

\frac{d}{d x} (20 x)

20

7) On évalue la dérivée résultante (

\frac{u1}{v2}

)' :

\frac{0 \cdot 20 x - 1 \cdot 20}{{(20 x)}^{2}}

\frac{0 - 20}{{(20 x)}^{2}}

- \frac{20}{{(20 x)}^{2}}

- \frac{20}{20^{2} \cdot x^{2}}

- \frac{20}{400 x^{2}}

On divise le numérateur et le dénominateur de

\frac{20}{400}

par le facteur commun :

20

, ce qui donne la nouvelle fraction :

\frac{1}{20}

- \frac{1}{20 x^{2}}

Avec les dérivées du numérateur et du dénominateur, on obtient une nouvelle fraction dont on peut déterminer la limite :

\frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{20 x^{2}}}

- \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{20 x^{2}}}

- \frac{1}{x} \cdot 20 x^{2}

ℹ

- \frac{1}{x} \cdot 20 x^{2}

- \frac{20 x^{2}}{x}

‖

- \frac{20 x^{2}}{x}

-20 x

-20 x

La limite de

- 20 x

est (

- 20 \cdot 0

)⁻ quand

x \to 0

⁺

⇥7.1) Évaluons :

- 20 \cdot 0

⇥

0

La limite de

\frac{\ln (x)}{\frac{1}{20 x}}

est

0

⁻ quand

x \to 0

⁺

La limite de

20 x \cdot \ln (x)

est

0

⁻ quand

x \to 0

⁺

Donc la limite de

x^{(20 x)}

est

1

⁻ quand

x \to 0

⁺

▶Limite :

1