limite x->8 (sqrt(7+\sqrt[3]{x)}-3)/(x-8)

⚠Ⓘ (sqrt(7+\sqrt[3]{x)}-3)/(x-8) est lu comme (sqrt(7+\sqrt[3]{x})-3)/(x-8) : la parenthèse finale non appariée ferme le groupe extérieur ; écrivez la fermeture après l’accolade‖La racine LaTeX est lue comme une puissance fractionnaire : écrivez (expression)^(1/n), avec n=2 pour une racine carrée

1) Calculons la limite de

\frac{\sqrt{7 + x^{\frac{1}{3}}} - 3}{x - 8}

lorsque

x \to 8

La limite de

x^{\frac{1}{3}}

est

8^{\frac{1}{3}}

quand

x \to 8

⇥1.1) Évaluons :

8^{\frac{1}{3}}

⇥

2

La limite de

7 + x^{\frac{1}{3}}

est

7 + 2

quand

x \to 8

⇥1.2) Calculons :

7 + 2

⇥

9

La limite de

\sqrt{7 + x^{\frac{1}{3}}}

est

\sqrt{9}

quand

x \to 8

⇥1.3) Calculons :

\sqrt{9}

⇥

3

La limite de

\sqrt{7 + x^{\frac{1}{3}}} - 3

est

3 - 3

quand

x \to 8

⇥1.4) Calculons :

3 - 3

⇥

0

La limite de

x - 8

est

8 - 8

quand

x \to 8

⇥1.5) Calculons :

8 - 8

⇥

0

Pour

\frac{\sqrt{7 + x^{\frac{1}{3}}} - 3}{x - 8}

, on obtient la forme indéterminée : 0/0 lorsque

x

tend vers

8

2) On utilise la règle de l’Hôpital (limite de a/b = limite de a'/b') en calculant les dérivées du numérateur et du dénominateur :

Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} (\sqrt{7 + x^{\frac{1}{3}}} - 3)

\frac{d}{d x} (\sqrt{7 + x^{\frac{1}{3}}}) + 0

On utilise la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (\sqrt{f}) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{f}}

avec f =

7 + x^{\frac{1}{3}}

\frac{d}{d x} (7 + x^{\frac{1}{3}}) \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{7 + x^{\frac{1}{3}}}}

ℹ

\frac{d}{d x} (7 + x^{\frac{1}{3}}) \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{7 + x^{\frac{1}{3}}}}

\frac{\frac{d}{d x} (7 + x^{\frac{1}{3}})}{2 \cdot \sqrt{7 + x^{\frac{1}{3}}}}

‖

\frac{d}{d x} (7 + x^{\frac{1}{3}})

0 + \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})

\frac{0 + \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})}{2 \cdot \sqrt{7 + x^{\frac{1}{3}}}}

\frac{\frac{1}{3} \cdot x^{(\frac{1}{3} - 1)}}{2 \cdot \sqrt{7 + x^{\frac{1}{3}}}}

ℹ

\frac{1}{3} \cdot x^{(\frac{1}{3} - 1)}

\frac{x^{(\frac{1}{3} - 1)}}{3}

‖

\frac{1}{3} - 1

\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}

\frac{\frac{x^{(\frac{1 - 1 \cdot 3}{3})}}{3}}{2 \cdot \sqrt{7 + x^{\frac{1}{3}}}}

\frac{\frac{x^{(\frac{1 - 3}{3})}}{3}}{2 \cdot \sqrt{7 + x^{\frac{1}{3}}}}

\frac{\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}}{2 \cdot \sqrt{7 + x^{\frac{1}{3}}}}

\frac{\frac{\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}}{3}}{2 \cdot \sqrt{7 + x^{\frac{1}{3}}}}

\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{7 + x^{\frac{1}{3}}}}

\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{\sqrt{7 + x^{\frac{1}{3}}}}

\frac{1}{x^{\frac{2}{3}} \cdot 6 \cdot \sqrt{7 + x^{\frac{1}{3}}}}

3) Dérivons :

\frac{d}{d x} (x - 8)

1 + 0

1

À partir des dérivées, on obtient une nouvelle fraction dont on peut calculer la limite :

La limite de

x^{\frac{2}{3}}

est

8^{\frac{2}{3}}

quand

x \to 8

⇥3.1) Évaluons :

8^{\frac{2}{3}}

⇥

2^{2}

⇥

4

La limite de

x^{\frac{2}{3}} \cdot 6 \cdot \sqrt{7 + x^{\frac{1}{3}}}

est

4 \cdot 6 \cdot 3

quand

x \to 8

⇥3.2) Évaluons :

4 \cdot 6 \cdot 3

⇥

24 \cdot 3

⇥

72

La limite de

\frac{1}{x^{\frac{2}{3}} \cdot 6 \cdot \sqrt{7 + x^{\frac{1}{3}}}}

est

\frac{1}{72}

quand

x \to 8

Donc la limite de

\frac{\sqrt{7 + x^{\frac{1}{3}}} - 3}{x - 8}

est

\frac{1}{72}

quand

x \to 8

▶Limite :

\frac{1}{72}

4) La valeur numérique de :

\frac{1}{72}

est :

▷

\approx 1.3889 \times 10^{- 2}