montre que (x+1)^2-(x-1)^2=4x

Contrôlons si

{(x + 1)}^{2} - {(x - 1)}^{2} = 4 x

⇥Calculons :

{(x + 1)}^{2} - {(x - 1)}^{2}

⇥ⓘ Élever une somme à une puissance entière strictement positive, c'est la multiplier par elle-même autant de fois que l'indique l'exposant :

{(x + 1)}^{2}

(x + 1) \cdot (x + 1)

{(x - 1)}^{2}

(x - 1) \cdot (x - 1)

⇥

(x + 1) \cdot (x + 1) - (x - 1) \cdot (x - 1)

⇥ⓘ On multiplie chaque terme de la somme par l’autre facteur : c’est la distributivité :

(x + 1) \cdot (x + 1)

x \cdot x

+ x \cdot 1

+ 1 \cdot x

+ 1 \cdot 1

- (x - 1) \cdot (x - 1)

- (x \cdot x

+ x \cdot (-1)

- 1 \cdot x

- 1 \cdot (-1))

⇥

x \cdot x

+ x \cdot 1

+ 1 \cdot x

+ 1 \cdot 1

- (x \cdot x

+ x \cdot (-1)

- 1 \cdot x

- 1 \cdot (-1))

⇥ⓘ Multiplier des puissances de même base revient à additionner les exposants :

x \cdot x

x^{2}

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

1 \cdot 1

1

■Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (x \cdot x

+ x \cdot (-1)

- 1 \cdot x

- 1 \cdot (-1))

- x \cdot x

- x \cdot (-1)

+ 1 \cdot x

+ 1 \cdot (-1)

⇥

x^{2}

+ x

+ x

+ 1

- x \cdot x

- x \cdot (-1)

+ 1 \cdot x

+ 1 \cdot (-1)

⇥ⓘ On additionne les coefficients des termes semblables pour les regrouper :

x + x - x \cdot x

2 x - x^{2}

x^{2} - x^{2}

0

■Multiplier par -1 donne l'opposé :

- x \cdot (-1)

x

⇥

0

+ 2 x

+ 1

+ x

+ x

- 1

⇥ⓘ Ajouter 0 conserve la valeur initiale :

0 + 2 x

2 x

■On part de

1

et on recule de

1

sur la droite des nombres, jusqu'à zéro :

1 - 1

0

■On additionne les coefficients des termes semblables pour les regrouper :

2 x + x + x

4 x

⇥

4 x + 0

⇥ⓘ Ajouter 0 conserve la valeur initiale :

4 x + 0

4 x

⇥

4 x

▶Les deux membres valent $4 x$ : ${(x + 1)}^{2} - {(x - 1)}^{2} = 4 x$ est bien vérifié

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