reciproque de f(x)=1+1/(x-3) — solution étape par étape

1) Pour une fonction

\frac{a x + b}{c x + d}

, deux entrées u et v de même image vérifient

(a d - b \cdot c) \cdot (u - v) = 0

après multiplication par les dénominateurs. Ici,

- 3 + 2

-1

≠ 0, donc u = v. La fonction admet ainsi une réciproque sur son image

Le domaine de la fonction est

x \in ℝ \ {3}

Exprimons l'entrée

x

en fonction de la sortie

y

y = \frac{x - 2}{x - 3}

⇥1.1) Résolvons dans

ℝ

\frac{x - 2}{x - 3} = y

⇥Additionnons les fractions :

\frac{x - 2}{x - 3} - y = 0

⇥

\frac{(x - 2) - y \cdot (x - 3)}{x - 3} = 0

⇥

\frac{x - 2 - y \cdot (x - 3)}{x - 3} = 0

⇥1.2) Résolvons dans

ℝ

x - 2 - y \cdot (x - 3) = 0

⇥

x - 2 - (y x + y \cdot (-3)) = 0

⇥

x

- 2

- y \cdot x

- y \cdot (-3) = 0

⇥

x

- 2

- y x

+ y \cdot 3 = 0

⇥

x - y x = 2 - y \cdot 3

⇥

(1 - y) \cdot x = 2 - y \cdot 3

⇥Solution trouvée :

x = \frac{2 - 3 y}{1 - y}

⇥1.3) Pour éviter que le dénominateur soit zéro, résolvons :

x - 3 \neq 0

⇥Condition de définition :

x \neq 3

En renommant la sortie en

x

, la réciproque est

\frac{2 - 3 x}{1 - x}

, de domaine

x \in ℝ \ {1}

▶Fonction réciproque :

\frac{2 - 3 x}{1 - x}