résous cosh(x)=2

1) Effectuons la résolution dans

ℝ

\cosh (x) = 2

cosh étant paire et strictement croissante sur

[0; +∞ [

, de réciproque arccosh,

\cosh (x) = 2

équivaut à

| x | = arccosh (2)

2) Effectuons la résolution dans

ℝ

| x | = arccosh (2)

On utilise la forme logarithmique :

arccosh (t) = \ln (t + \sqrt{t^{2} - 1})

ⅰ

arccosh (2)

\ln (2 + \sqrt{2^{2} - 1})

| x | = \ln (2 + \sqrt{2^{2} - 1})

ⓘ On calcule les puissances avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance d'exposant entier strictement positif est un produit répété :

2^{2}

2 \cdot 2

4

| x | = \ln (2 + \sqrt{4 - 1})

ⓘ Les parenthèses se calculent en premier :

4 - 1

3

| x | = \ln (2 + \sqrt{3})

Comme

\ln (2 + \sqrt{3}) \geq 0

| x | = \ln (2 + \sqrt{3})

équivaut à

x = \ln (2 + \sqrt{3})

x = - \ln (2 + \sqrt{3})

▶Solutions trouvées :

x = {- \ln (2 + \sqrt{3}); \ln (2 + \sqrt{3})}

3) La valeur numérique de :

x = {- \ln (2 + \sqrt{3}); \ln (2 + \sqrt{3})}

vaut :

x = {- \ln (2 + \approx 1,7321); \ln (2 + \approx 1,7321)}

x = {- \ln (\approx 3,7321); \ln (\approx 3,7321)}

▷

x = {\approx -1,3170; \approx 1,3170}

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