résous xyy'=y^2+x*sqrt(4x^2+y^2)

Effectuons la résolution de l'équation différentielle

x y \cdot y' = y^{2} + x \cdot \sqrt{4 x^{2} + y^{2}}

, où

y

est une fonction de

x

; sur un intervalle où

x > 0

y \neq 0

, on peut isoler

y'

y' = \frac{x \cdot \sqrt{4 x^{2} + y^{2}} + y^{2}}{x y}

Sur cet intervalle, le membre droit ne dépend que de

\frac{y}{x}

: l'équation est homogène. Avec

v = \frac{y}{x}

, elle s'écrit

y' = \frac{v^{2} + \sqrt{v^{2} + 4}}{v}

Posons

y = v x

, où

v

est une fonction de

x

: alors

y' = v + x \cdot v'

, et l'équation devient

v + x \cdot v' = \frac{v^{2} + \sqrt{v^{2} + 4}}{v}

, soit

x \cdot v' = \frac{\sqrt{v^{2} + 4}}{v}

\frac{\sqrt{v^{2} + 4}}{v}

ne s'annule pas : on sépare les variables,

\frac{v}{\sqrt{v^{2} + 4}} \cdot dv = \frac{dx}{x}

On pose

u = v^{2} + 4

, donc

u' = 2 v

. Comme

u > 0

, avec

\frac{d}{d v} (\sqrt{u}) = \frac{u'}{2 \sqrt{u}}

, on obtient

\frac{d}{d v} (\sqrt{v^{2} + 4}) = \frac{2 v}{2 \cdot \sqrt{v^{2} + 4}}

\frac{v}{\sqrt{v^{2} + 4}}

, d'où

\int \frac{v}{\sqrt{v^{2} + 4}} d v = \sqrt{v^{2} + 4}

En intégrant les deux membres, avec

\int \frac{1}{x} d x = \ln | x |

puisque

x \neq 0

\sqrt{v^{2} + 4} = \ln | x | + C

, où

C

est une constante réelle arbitraire, propre à chaque intervalle

En remplaçant

v

par

\frac{y}{x}

, on obtient

\sqrt{\frac{y^{2}}{x^{2}} + 4} = \ln | x | + C

Sur un intervalle où

x < 0

y \neq 0

, on peut isoler

y'

y' = \frac{x \cdot \sqrt{4 x^{2} + y^{2}} + y^{2}}{x y}

Sur cet intervalle, le membre droit ne dépend que de

\frac{y}{x}

: l'équation est homogène. Avec

v = \frac{y}{x}

, elle s'écrit

y' = \frac{v^{2} - \sqrt{v^{2} + 4}}{v}

Posons

y = v x

, où

v

est une fonction de

x

: alors

y' = v + x \cdot v'

, et l'équation devient

v + x \cdot v' = \frac{v^{2} - \sqrt{v^{2} + 4}}{v}

, soit

x \cdot v' = - \frac{\sqrt{v^{2} + 4}}{v}

- \frac{\sqrt{v^{2} + 4}}{v}

ne s'annule pas : on sépare les variables,

- \frac{v}{\sqrt{v^{2} + 4}} \cdot dv = \frac{dx}{x}

On sort d'abord le facteur

-1

de l'intégrale :

\int (- \frac{v}{\sqrt{v^{2} + 4}}) d v

- \int \frac{v}{\sqrt{v^{2} + 4}} d v

On pose

u = v^{2} + 4

, donc

u' = 2 v

. Comme

u > 0

, avec

\frac{d}{d v} (\sqrt{u}) = \frac{u'}{2 \sqrt{u}}

, on obtient

\frac{d}{d v} (\sqrt{v^{2} + 4}) = \frac{2 v}{2 \cdot \sqrt{v^{2} + 4}}

\frac{v}{\sqrt{v^{2} + 4}}

, d'où

\int \frac{v}{\sqrt{v^{2} + 4}} d v = \sqrt{v^{2} + 4}

, donc

\int (- \frac{v}{\sqrt{v^{2} + 4}}) d v = - \sqrt{v^{2} + 4}

En intégrant les deux membres, avec

\int \frac{1}{x} d x = \ln | x |

puisque

x \neq 0

- \sqrt{v^{2} + 4} = \ln | x | + C

, où

C

est une constante réelle arbitraire, propre à chaque intervalle

En remplaçant

v

par

\frac{y}{x}

, on obtient

- \sqrt{\frac{y^{2}}{x^{2}} + 4} = \ln | x | + C

▶Solution :

{x > 0; \sqrt{\frac{y^{2}}{x^{2}} + 4} = \ln | x | + C; y \neq 0} \cup {x < 0; - \sqrt{\frac{y^{2}}{x^{2}} + 4} = \ln | x | + C; y \neq 0}

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