tangente de y=(-8x)/(x^2+1),(-1,4)

⚠ 8x est lu comme le produit 8*x : pour une puissance, écrivez 8^x

1) Vérifions le domaine avant de calculer la tangente :

x \in ℝ

Cherchons la tangente en

x = -1

⇥1.1) Dérivons :

\frac{d}{d x} (- \frac{8 x}{x^{2} + 1})

⇥Pour

u1

8 x

v2

x^{2} + 1

, on utilise la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (\frac{u1}{v2}) = \frac{\frac{d}{d x} (u1) \cdot v2 - u1 \cdot \frac{d}{d x} (v2)}{{v2}^{2}}

⇥1.2) Effectuons la dérivation

u1

\frac{d}{d x} (8 x)

⇥

8

⇥1.3) Dérivons

v2

\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)

⇥

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

⇥

2 x

⇥1.4) Évaluons la dérivée obtenue (

\frac{u1}{v2}

)' :

- \frac{8 \cdot (x^{2} + 1) - 8 x \cdot 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

⇥ℹ

8 \cdot 2

16

‖

x \cdot x

x^{2}

⇥

- \frac{8 \cdot (x^{2} + 1) - 16 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

⇥

\frac{- 8 \cdot (x^{2} + 1) + 16 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

⇥

\frac{- (8 x^{2} + 8) + 16 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

⇥

\frac{- 8 x^{2} - 8 + 16 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

⇥

\frac{8 x^{2} - 8}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

Calculons f(

-1

)

⇥

- \frac{8 \cdot (-1)}{{(-1)}^{2} + 1}

⇥ℹ

8 \cdot (-1)

-8

‖

{(-1)}^{2}

1

⇥

- \frac{-8}{1 + 1}

⇥

\frac{8}{1 + 1}

⇥

\frac{8}{2}

⇥

4

Le point de contact est (

-1

4

)

Calculons f'(

-1

)

⇥

\frac{8 \cdot {(-1)}^{2} - 8}{{({(-1)}^{2} + 1)}^{2}}

⇥ℹ

{(-1)}^{2}

1

‖

8 \cdot 1

8

⇥

\frac{8 - 8}{{(1 + 1)}^{2}}

⇥ℹ

8 - 8

0

‖

1 + 1

2

⇥

\frac{0}{2^{2}}

⇥

0

La pente est f'(

-1

) =

0

La tangente passe par ce point avec cette pente :

y = 0 \cdot (x + 1) + 4

Calculons l'ordonnée à l'origine :

b = 4 - 0 \cdot (-1)

⇥

4 - 0 \cdot (-1)

⇥

4 + 0

⇥

4

⇥

y = 0 \cdot x + 4

⇥

y = 0 + 4

▶Tangente :

y = 4