variance de 2, 4, 4

La moyenne des 3 valeurs est leur somme divisée par 3 :

\frac{2 + 4 + 4}{3} = \frac{10}{3}

La variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne

\frac{10}{3}

: leur somme est divisée par le nombre de valeurs, 3 (par 2 pour un échantillon, à demander par « variance corrigée »)

1) Calculons :

\frac{{(2 - \frac{10}{3})}^{2} + {(4 - \frac{10}{3})}^{2} + {(4 - \frac{10}{3})}^{2}}{3}

ⓘ On additionne des fractions en les mettant au même dénominateur, puis en additionnant leurs numérateurs :

2 - \frac{10}{3}

\frac{3 \times 2 - 10}{3}

4 - \frac{10}{3}

\frac{3 \times 4 - 10}{3}

\frac{{(\frac{3 \times 2 - 10}{3})}^{2} + {(\frac{3 \times 4 - 10}{3})}^{2} + {(\frac{3 \times 4 - 10}{3})}^{2}}{3}

ⓘ On effectue les multiplications avant les additions et les soustractions :

3 \times 2

6

3 \times 4

12

\frac{{(\frac{6 - 10}{3})}^{2} + {(\frac{12 - 10}{3})}^{2} + {(\frac{12 - 10}{3})}^{2}}{3}

ⓘ Avant de diviser, on calcule le numérateur et le dénominateur :

6 - 10

-4

12 - 10

2

\frac{{(- \frac{4}{3})}^{2} + {(\frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{2}{3})}^{2}}{3}

ⓘ On additionne les coefficients des termes semblables pour les regrouper :

{(\frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{2}{3})}^{2}

2 \times {(\frac{2}{3})}^{2}

\frac{{(- \frac{4}{3})}^{2} + 2 \times {(\frac{2}{3})}^{2}}{3}

ⓘ La puissance d'un quotient est le quotient des puissances,

{(\frac{a}{b})}^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}

{(- \frac{4}{3})}^{2}

\frac{{(-4)}^{2}}{3^{2}}

{(\frac{2}{3})}^{2}

\frac{2^{2}}{3^{2}}

\frac{\frac{{(-4)}^{2}}{3^{2}} + 2 \times \frac{2^{2}}{3^{2}}}{3}

ⓘ On calcule les puissances avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance d'exposant entier strictement positif est un produit répété :

{(-4)}^{2}

(-4) \times (-4)

16

3^{2}

3 \times 3

9

2^{2}

2 \times 2

4

■On additionne des fractions en les mettant au même dénominateur, puis en additionnant leurs numérateurs :

\frac{16}{9} + 2 \times \frac{4}{9}

\frac{16 + 2 \times \frac{4}{9} \times 9}{9}

\frac{\frac{16 + 2 \times \frac{4}{9} \times 9}{9}}{3}

ⓘ On effectue les multiplications avant les additions et les soustractions :

2 \times 9

18

■Multiplier une fraction par un nombre revient à multiplier son numérateur :

18 \times \frac{4}{9}

\frac{18 \times 4}{9}

■On additionne des fractions en les mettant au même dénominateur, puis en additionnant leurs numérateurs :

16 + \frac{18 \times 4}{9}

\frac{16 \times 9 + 18 \times 4}{9}

\frac{\frac{\frac{16 \times 9 + 18 \times 4}{9}}{9}}{3}

ⓘ On effectue les multiplications avant les additions et les soustractions :

16 \times 9

(10 + 6) \times 9

10 \times 9 + 6 \times 9

90 + 54

144

18 \times 4

(10 + 8) \times 4

10 \times 4 + 8 \times 4

40 + 32

72

\frac{\frac{\frac{144 + 72}{9}}{9}}{3}

ⓘ Avant de diviser, on calcule le numérateur et le dénominateur :

144 + 72

216

\frac{\frac{\frac{216}{9}}{9}}{3}

ⓘ Diviser une fraction par

9

revient à multiplier son dénominateur par

9

\frac{\frac{216}{9}}{9}

\frac{216}{9 \times 9}

■Diviser une fraction par

3

revient à multiplier son dénominateur par

3

\frac{\frac{216}{9 \times 9}}{3}

\frac{216}{9 \times 9 \times 3}

■Pour simplifier une fraction, on divise son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul :

\frac{216}{9 \times 9 \times 3}

\frac{24}{9 \times 3}

\frac{24}{9 \times 3}

ⅰ

9 \times 3

27

\frac{24}{27}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

3

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{24}{27}

\frac{8 \times 3}{9 \times 3}

\frac{8}{9}

▶Variance :

\frac{8}{9}

2) La valeur numérique de :

\frac{8}{9}

est :

▷

\approx 0,8889

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