assíntotas de (x^2+1)/(x-1)

1) Vamos procurar as assíntotas de

\frac{x^{2} + 1}{x - 1}

, para

x

real

Assíntotas verticais: vamos procurar os valores excluídos, que anulam o denominador. Depois devemos verificar se a curva tende para infinito perto desses valores

⇥1.1) Vamos resolver em

ℝ

x - 1 = 0

⇥ⓘ Somamos

1

a ambos os membros

⇥Solução encontrada:

x = 1

Quando

x

se aproxima de

1

pela esquerda (valores menores), a função tende para

-∞

; pela direita (valores maiores), tende para

+∞

A função tende para infinito pelo menos de um lado: a reta

x = 1

é uma assíntota vertical

⇥1.2) Vamos começar a divisão euclidiana de

(x^{2} + 1)

por

(x - 1)

⇥

Expressão atual	Divisão dos termos principais	Quociente	Quociente × divisor	Resto após a subtração
$x^{2} + 1$	$\frac{x^{2}}{x}$	$x$	$x \cdot (x - 1) = x^{2} - x$	$(x^{2} + 1) - (x^{2} - x) = x + 1$
$x + 1$	$\frac{x}{x}$	$1$	$x - 1 = x - 1$	$(x + 1) - (x - 1) = 2$

⇥Portanto, o resultado da divisão euclidiana é:

(x + 1)

A divisão permite escrever

\frac{x^{2} + 1}{x - 1} = (x + 1) + \frac{2}{x - 1}

: a reta a verificar é

y = x + 1

Para uma assíntota oblíqua, a diferença entre a função e a reta deve tender para 0: vamos verificar o limite de

\frac{2}{x - 1}

nos dois infinitos

A diferença tende para

0

em +∞ e para

0

em -∞: a curva aproxima-se da reta nos dois infinitos

A assíntota oblíqua é

y = x + 1

, pelo que não há assíntota horizontal

▶Assíntotas:

{x = 1; y = x + 1}

🖼/draw?f1=%28x%5E2+%2B+1%29%2F%28x+-+1%29&v=x&x2=1&f3=x+%2B+1&b=-9.0&e=11.0&min=-10.0&max=14.0&dash=2,3

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