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+Cálculo numérico

Operações, percentagens e médias

Basta escrever a expressão: calc é o comando por defeito. Também pode pedir operações, percentagens e médias com as suas próprias palavras. Quando o resultado tem um valor aproximado, este também é apresentado.

• 4*8 → 32
• calcula 25% de 200 → 50
• calcula a média de 4, 8 e 12 → 8

½Frações

Adição, simplificação e denominador comum

Some, multiplique ou simplifique frações numéricas ou algébricas. addfrac coloca os termos sobre um denominador comum; simplify cancela os fatores comuns. Os denominadores originais devem continuar diferentes de zero.

• calcula 1/4+1/2 → 3/4
• addfrac(x+1/x) → (x² + 1)/x, para x ≠ 0
• simplify((1+x)^3/(1+x)) → (x + 1)², para x ≠ −1

a+bCálculo algébrico

Simplificação, desenvolvimento e identidades notáveis

simplify simplifica sem desenvolver e expand desenvolve produtos e potências. Também pode pedir «simplifica» ou «desenvolve» com as suas próprias palavras.

• simplify(2x+3x) → 5x
• expand((1+x)^3) → x³ + 3x² + 3x + 1
• desenvolve (2x-3)(2x+3) → 4x² − 9

√Potências e raízes

Expoentes, raízes quadradas e raízes de ordem n

O sinal ^ indica uma potência, sqrt uma raiz quadrada e root(x, n) uma raiz de ordem n. O EMA simplifica as expressões e conserva os valores exatos; para um x real, sqrt(x^2) é |x|.

• calcula 2^10 → 1024
• simplifica sqrt(50) → 5√2
• simplifica root(32,5) → 2
• simplifica sqrt(x^2) → |x|

lnExponenciais e logaritmos

Exponencial, logaritmo natural e logaritmos com base explícita

exp(x) representa a exponencial e^x, ln o logaritmo natural e log o logaritmo de base 10. Para outra base, escreva log(2, 8) ou log2(8). Nos reais, o argumento deve ser positivo e a base positiva e diferente de 1.

• calcula exp(ln(5)) → 5
• simplifica ln(e^x) → x
• calcula log(100) → 2
• log(2, 8) → 3
• calcula log2(8) → 3
• (1+e)^2 → e² + 2e + 1 ≈ 13,8256

÷Aritmética

MDC, MMC, números primos, fatoriais, divisões euclidianas

mdc e mmc aceitam dois números ou mais, factor decompõe um inteiro em fatores primos e div faz a divisão euclidiana de dois inteiros ou de dois polinómios, ou decompõe uma fração racional.

A notação n! calcula um fatorial.

• mdc(24, 36) → 12
• mmc(4, 6) → 12
• factor(27880) → 2³ × 5 × 17 × 41
• div(12, 5) → 12 = 5 × 2 + 2
• div(x^4+x^2-1, x^2+1) → x² − 1/(x² + 1)
• 7! → 5040

∫Derivação e integração

Derivadas, primitivas, integrais, equações diferenciais, transformadas de Laplace

diff deriva em ordem a x, ou à variável indicada, e integ dá uma primitiva, ou o integral entre dois limites, mesmo infinitos. Derivadas parciais, equações diferenciais e transformadas de Laplace também se pedem por palavras suas.

• diff(4x+cos(x)) → 4 − sin(x)
• diff(x^2*y, y) → x²
• integ(4x+8) → 2x(x + 4) + C
• integ(x^2, x, [0, 1]) → 1/3
• integ(exp(-x), x, [0, +inf]) → 1

=Resolução e fatorização

Equações, inequações, sistemas, fatorizações

solve resolve uma equação, uma inequação ou um sistema entre chavetas, em ℝ por omissão ou em ℂ a pedido, e factor fatoriza uma expressão.

• solve(4x^2=8) → x = { −√2 ; √2 }
• solve(2x>3, x) → x > 3/2
• solve({a+b=4, a-2b=1}) → { a = 3 ; b = 1 }
• resolve x^2+4=0 em C → x = { −2i ; 2i }
• factor(x^2-x-6) → (x + 2)(x − 3)

∞Limites e somas

Limites, à esquerda e à direita, somas finitas e infinitas

lim calcula um limite, à esquerda ou à direita com "left" ou "right", levantando passo a passo as indeterminações. sum calcula uma soma finita ou infinita.

• lim(3-4/n, n->+inf) → 3
• lim(1/x, x->0, "right") → +∞
• sum(2^k, k=1, n) → 2ⁿ⁺¹ − 2
• sum(1/n^2, n=1, +inf) → π²/6

↗Estudo de funções

Domínio, paridade, assíntotas, extremos, inversa, tangente

dom dá o domínio de definição. Para o resto, pergunte por palavras suas: paridade, assíntotas, contradomínio, extremos, inversa, tangente, ou o estudo completo com « estuda ».

• dom(ln(x-1)) → x > 1
• paridade de 1/(x^2+3) → par
• assíntotas de (x^2+1)/(x-1) → x = 1 e y = x + 1
• estuda f(x)=x^2-3x → domínio, paridade, derivada, variação e gráfico

πTrigonometria

Valores exatos, radianos e graus, funções inversas

cos, sin, tan e as suas inversas acos, asin e atan trabalham em radianos, ou em graus com o sinal °. Os valores notáveis ficam exatos.

A secante sec(x) é 1/cos(x), a cotangente cot(x) é cos(x)/sin(x) e a cossecante csc(x) é 1/sin(x), quando o denominador não é zero.

• cos(pi/4) → √2/2
• cos(45°) → √2/2
• acos(sqrt(2)/2) → π/4
• acos°(sqrt(2)/2) → 45
• calcula sec(60°) → 2
• calcula cot(pi/4) → 1
• calcula csc(30°) → 2

ℂNúmeros complexos

Módulo, argumento, formas exponencial e polar

A unidade imaginária escreve-se i. mod dá o módulo, arg o argumento e polar a forma exponencial.

• (1+i)^2 → 2i
• mod(3+4i) → 5
• arg(3+4i) → arctan(4/3) ≈ 0,9273
• polar(2+2i) → 2√2 · e^(iπ/4)
• sqrt(-4) → 2i

△Geometria

Pontos, vetores, distâncias, pontos médios, retas e declives

coord define um ponto ou um vetor: podem somar-se, calcular o produto escalar, e norm dá a norma. Distâncias, pontos médios, retas e declives pedem-se por palavras suas.

• coord(1,2)+coord(3,4) → coord(4 ; 6)
• coord(1,2)*coord(3,4) → 11
• norm(coord(3,4)) → 5
• distância (-1,8),(4,-2) → 5√5
• ponto médio de (1,2) e (3,4) → (2 ; 3)

∿Gráficos

Curvas de uma ou várias funções

draw traça uma função num intervalo de x, e até nove curvas juntas entre chavetas. Um segundo intervalo, opcional, fixa os limites do eixo y.

• draw(4x+5, x, [-10,10]) → a reta y = 4x + 5
• draw({x^2, x^3}, x, [-10,10]) → as duas curvas juntas
• draw(1/x, x, [-5,5], [-10,10]) → o eixo y limitado a [-10 ; 10]
• draw({sin(x), cos(x)}, x, [-pi,pi], [-2,2]) → duas curvas, o eixo y limitado a [-2 ; 2]
• traça sin(x) e cos(x) para x entre -pi e pi

≔Definições

Funções, sucessões e variáveis para reutilizar

Uma definição com = é guardada para os cálculos seguintes: função, sucessão ou variável. O último resultado está em res e o seu valor numérico em num; listdef lista as definições e cleardef apaga-as.

• f(x)=4x+8 e depois f(4) → 24
• u(n+1)=4*u(n)-2 e depois u(0)=1 e depois u(3) → 22
• listdef

?Explicações

Perceber porque é que um cálculo dá o seu resultado

Junte « explica » ou « porquê » antes de um cálculo para ver as regras aplicadas. Cada resposta tem também o seu botão « Mais explicações », que mostra todos os detalhes.

• explica -4*-4
• porquê (-5)^2
• explica como -13-4 dá -17

…Diversos

Casas decimais, notação científica, problemas, verificações

Precisão pretendida, posição de uma casa decimal, notação científica, verificação de uma igualdade, problemas de percentagens ou de proporcionalidade: faça a pergunta por palavras suas.

• calcula pi com 20 casas decimais → 3,14159265358979323846
• a 67.ª casa decimal de sqrt(7) → 0
• calcula 12*8 em notação científica → 9,6 × 10¹
• mostra que (x+1)^2-(x-1)^2=4x → verifica-se