estuda a função (x^2+1)/(x-1)

Vamos estudar a função

\frac{x^{2} + 1}{x - 1}

1) Vamos procurar o domínio de

\frac{x^{2} + 1}{x - 1}

Para que a expressão

\frac{x^{2} + 1}{x - 1}

esteja definida, é necessário:

x - 1 \neq 0

ⓘ Somamos

1

a ambos os membros

Solução encontrada:

x \neq 1

Domínio de definição:

x \neq 1

2) Vamos estudar a paridade de

\frac{x^{2} + 1}{x - 1}

em relação a

x

O domínio é

x \neq 1

Este domínio não é simétrico em relação a 0: a função não é par nem ímpar

Paridade: nem par nem ímpar

3) Derivabilidade

⇥Para

p1

x^{2} + 1

q2

x - 1

, utilizamos a fórmula de derivação:

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

⇥3.1) Vamos derivar

p1

\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)

⇥ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

⇥

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

⇥ⓘ Somar 0 não altera o valor:

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (x^{2})

■A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

⇥

2 x

⇥3.2) Vamos derivar

q2

\frac{d}{d x} (x - 1)

⇥ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (x - 1)

1 + 0

⇥

1 + 0

⇥ⓘ Somar 0 não altera o valor:

1 + 0

1

⇥

1

⇥3.3) Avaliamos a derivada obtida (

\frac{p1}{q2}

)':

\frac{2 x \cdot (x - 1) - (x^{2} + 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}

⇥

\frac{2 x \cdot (x - 1) - (x^{2} + 1)}{{(x - 1)}^{2}}

⇥ⓘ Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (x^{2} + 1)

- x^{2} - 1

⇥

\frac{2 x \cdot (x - 1) - x^{2} - 1}{{(x - 1)}^{2}}

⇥ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

2 x \cdot (x - 1)

2 x^{2} + 2 \cdot (- x)

⇥

\frac{2 x^{2} + 2 \cdot (- x) - x^{2} - 1}{{(x - 1)}^{2}}

⇥ⓘ Colocamos o sinal de menos à frente do produto:

2 \cdot (- x)

- 2 x

■Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

2 x^{2} - x^{2}

x^{2}

⇥

\frac{x^{2} - 2 x - 1}{{(x - 1)}^{2}}

⇥3.4) Depois continuamos a derivação:

ⅰ

\frac{d}{d x} (\frac{x^{2} + 1}{x - 1})

\frac{x^{2} - 2 x - 1}{{(x - 1)}^{2}}

Derivada:

\frac{x^{2} - 2 x - 1}{{(x - 1)}^{2}}

4) Vamos estudar a variação de

f (x)

: procuremos primeiro onde se anula a sua derivada

f^{'} (x) = \frac{x^{2} - 2 x - 1}{{(x - 1)}^{2}}

Vamos resolver em

ℝ

\frac{x^{2} - 2 x - 1}{{(x - 1)}^{2}} = 0

Um quociente é nulo se e só se o numerador for nulo e o denominador não nulo: igualamos o numerador a 0 e resolvemos

⇥4.1) Vamos resolver em

ℝ

x^{2} - 2 x - 1 = 0

⇥Dada a forma quadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 1

b = -2

c = -1

⇥

Δ = {(-2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-1)

⇥ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-2)}^{2}

(-2) \cdot (-2)

4

⇥

Δ = 4 - 4 \cdot (-1)

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Dois sinais de menos anulam-se: o produto de dois números negativos é positivo:

- 4 \cdot (-1)

4

⇥

Δ = 4 + 4

⇥ⓘ Partimos de

4

e avançamos

4

na reta numérica:

4 + 4

8

⇥

Δ = 8

⇥Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

⇥A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-2) - \sqrt{8}}{2 \cdot 1}

⇥

x_{1} = \frac{2 - \sqrt{8}}{2}

⇥ⓘ Procuramos o maior quadrado que divide

8

4

2^{2}

, e extraímo-lo da raiz:

\sqrt{8}

\sqrt{4 \cdot 2}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{2}

2 \cdot \sqrt{2}

⇥

x_{1} = \frac{2 - 2 \cdot \sqrt{2}}{2}

⇥ⓘ Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

\frac{2 - 2 \cdot \sqrt{2}}{2}

\frac{2 \cdot (1 - \sqrt{2})}{2}

1 - \sqrt{2}

⇥

x_{1} = 1 - \sqrt{2}

⇥A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-2) + \sqrt{8}}{2 \cdot 1}

⇥

x_{2} = \frac{2 + \sqrt{8}}{2}

⇥ⓘ Procuramos o maior quadrado que divide

8

4

2^{2}

, e extraímo-lo da raiz:

\sqrt{8}

\sqrt{4 \cdot 2}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{2}

2 \cdot \sqrt{2}

⇥

x_{2} = \frac{2 + 2 \cdot \sqrt{2}}{2}

⇥ⓘ Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

\frac{2 + 2 \cdot \sqrt{2}}{2}

\frac{2 \cdot (1 + \sqrt{2})}{2}

1 + \sqrt{2}

⇥

x_{2} = 1 + \sqrt{2}

⇥Soluções encontradas:

x = {1 - \sqrt{2}; 1 + \sqrt{2}}

⇥4.2) Para evitar um denominador nulo, vamos resolver:

{(x - 1)}^{2} \neq 0

⇥De

{(x - 1)}^{2} \neq 0

deduzimos:

x - 1 \neq 0

⇥ⓘ Somamos

1

a ambos os membros

⇥Condição de definição:

x \neq 1

f^{'} (x)

anula-se em

x = {1 - \sqrt{2}; 1 + \sqrt{2}}

Formada por funções usuais,

f^{'} (x)

é contínua onde está definida: em cada intervalo onde não se anula, mantém o sinal do seu valor num ponto

f^{'} (-1) = \frac{1}{2}

> 0:

f

é crescente em

] -∞; 1 - \sqrt{2} [

f^{'} (0) = -1

< 0:

f

é decrescente em

] 1 - \sqrt{2}; 1 [

f^{'} (2) = -1

< 0:

f

é decrescente em

] 1; 1 + \sqrt{2} [

f^{'} (3) = \frac{1}{2}

> 0:

f

é crescente em

] 1 + \sqrt{2}; +∞ [

Vamos calcular os valores de

f

nos extremos do quadro, ou os seus limites nos extremos infinitos ou excluídos

Quando

x

tende para

-∞

f (x)

tende para

-∞

f (1 - \sqrt{2}) = \frac{{(1 - \sqrt{2})}^{2} + 1}{1 - \sqrt{2} - 1} = \sqrt{2} \cdot (\sqrt{2} - 2)

Quando

x

se aproxima de

1

pela esquerda,

f (x)

tende para

-∞

; pela direita, para

+∞

f (1 + \sqrt{2}) = \frac{{(1 + \sqrt{2})}^{2} + 1}{1 + \sqrt{2} - 1} = \sqrt{2} \cdot (2 + \sqrt{2})

Quando

x

tende para

+∞

f (x)

tende para

+∞

Vamos construir o quadro de variação:

$x$	$-∞$		$1 - \sqrt{2}$		$1$		$1 + \sqrt{2}$		$+∞$
$f^{'} (x)$		+	$0$	-	‖	-	$0$	+
$f (x)$	$-∞$	↗	$\sqrt{2} \cdot (\sqrt{2} - 2)$	↘	$-∞$ ‖ $+∞$	↘	$\sqrt{2} \cdot (2 + \sqrt{2})$	↗	$+∞$

Portanto,

f

é crescente em

] -∞; 1 - \sqrt{2}]

, decrescente em

[1 - \sqrt{2}; 1 [

e em

] 1; 1 + \sqrt{2}]

e crescente em

[1 + \sqrt{2}; +∞ [

5) Vamos ler o conjunto imagem no quadro de variação

⇥Em

] -∞; 1 [

f

é contínua: assume todos os valores de

] -∞; \sqrt{2} \cdot (\sqrt{2} - 2)]

⇥Em

] 1; +∞ [

f

é contínua: assume todos os valores de

[\sqrt{2} \cdot (2 + \sqrt{2}); +∞ [

Conjunto imagem:

] -∞; \sqrt{2} \cdot (\sqrt{2} - 2)] \cup [\sqrt{2} \cdot (2 + \sqrt{2}); +∞ [

6) No eixo das abcissas, y = 0: vamos resolver

\frac{x^{2} + 1}{x - 1} = 0

Vamos resolver em

ℝ

\frac{x^{2} + 1}{x - 1} = 0

Um quociente é nulo se e só se o numerador for nulo e o denominador não nulo: igualamos o numerador a 0 e resolvemos

⇥6.1) Vamos resolver em

ℝ

x^{2} + 1 = 0

⇥

x^{2} = -1

⇥Em ℝ, um quadrado nunca é negativo: nenhum número real tem

-1

como quadrado

⇥Solução:

x \in \emptyset

⇥6.2) Para evitar um denominador nulo, vamos resolver:

x - 1 \neq 0

⇥Condição de definição:

x \neq 1

A curva não interseta o eixo das abcissas

No eixo das ordenadas,

x = 0

: vamos calcular f(0)

⇥

\frac{0^{2} + 1}{0 - 1}

⇥ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 + 1

1

0 - 1

-1

■O sinal de uma fração coloca-se à sua frente, quer venha do numerador quer do denominador:

\frac{1}{-1}

- \frac{1}{1}

⇥

- \frac{1}{1}

⇥

-1

Interseções com os eixos:

(0; -1)

7) Vamos procurar as assíntotas de

\frac{x^{2} + 1}{x - 1}

, para

x

real

Assíntotas verticais: vamos procurar os valores excluídos, que anulam o denominador. Depois devemos verificar se a curva tende para infinito perto desses valores

⇥7.1) Vamos resolver em

ℝ

x - 1 = 0

⇥ⓘ Somamos

1

a ambos os membros

⇥Solução encontrada:

x = 1

Quando

x

se aproxima de

1

pela esquerda (valores menores), a função tende para

-∞

; pela direita (valores maiores), tende para

+∞

A função tende para infinito pelo menos de um lado: a reta

x = 1

é uma assíntota vertical

⇥7.2) Vamos calcular o quociente e o resto de

(x^{2} + 1)

por

(x - 1)

⇥

Expressão atual	Divisão dos termos principais	Quociente	Quociente × divisor	Resto após a subtração
$x^{2} + 1$	$\frac{x^{2}}{x}$	$x$	$x \cdot (x - 1) = x^{2} - x$	$(x^{2} + 1) - (x^{2} - x) = x + 1$
$x + 1$	$\frac{x}{x}$	$1$	$x - 1 = x - 1$	$(x + 1) - (x - 1) = 2$

⇥Portanto, o resultado da divisão euclidiana é:

(x + 1)

A divisão permite escrever

\frac{x^{2} + 1}{x - 1} = (x + 1) + \frac{2}{x - 1}

: a reta a verificar é

y = x + 1

Para uma assíntota oblíqua, a diferença entre a função e a reta deve tender para 0: vamos verificar o limite de

\frac{2}{x - 1}

nos dois infinitos

A diferença tende para

0

em +∞ e para

0

em -∞: a curva aproxima-se da reta nos dois infinitos

A assíntota oblíqua é

y = x + 1

, pelo que não há assíntota horizontal

🖼/draw?f1=%28x%5E2+%2B+1%29%2F%28x+-+1%29&v=x&x2=1&f3=x+%2B+1&b=-9.0&e=11.0&min=-10.0&max=14.0&dash=2,3

Assíntotas:

{x = 1; y = x + 1}

▶Estudo de $\frac{x^{2} + 1}{x - 1}$ : Domínio de definição: $x \neq 1$ ; Paridade: nem par nem ímpar; Derivada: $\frac{x^{2} - 2 x - 1}{{(x - 1)}^{2}}$ ; Conjunto imagem: $] -∞; \sqrt{2} \cdot (\sqrt{2} - 2)] \cup [\sqrt{2} \cdot (2 + \sqrt{2}); +∞ [$ ; Interseções com os eixos: $(0; -1)$ ; Assíntotas: ${x = 1; y = x + 1}$

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