estuda f(x)=x^2-3x

Guardamos a definição:

f (x) = x^{2} - 3 x

Vamos estudar a função

f (x) = x^{2} - 3 x

1) Vamos determinar o domínio de

x^{2} - 3 x

ⓘ Esta expressão não impõe restrições à variável real

Domínio de definição:

x \in ℝ

2) Vamos estudar a paridade de

x^{2} - 3 x

em relação a

x

O domínio é

x \in ℝ

Este domínio é simétrico em relação a 0: se

x

pertence ao domínio, -

x

também

Substituímos

x

por -

x

: f(-

x

) =

{(- x)}^{2} - 3 \cdot (- x)

Vamos calcular:

{(- x)}^{2} - 3 \cdot (- x)

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Com um expoente inteiro par, o sinal de menos da base desaparece; com um expoente inteiro ímpar, passa para a frente da potência:

{(- x)}^{2}

x^{2}

■Dois sinais de menos anulam-se:

-3 \cdot (- x)

3 x

x^{2} + 3 x

f(-

x

) - f(

x

) =

6 x

e f(-

x

) + f(

x

) =

2 x^{2}

são polinómios não nulos: a função não é par nem ímpar

Paridade: nem par nem ímpar

3) Derivabilidade

⇥ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (x^{2} - 3 x)

\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x)

⇥

\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x)

ⓘ A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

■Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (- 3 x)

-3

Derivada:

2 x - 3

4) Vamos estudar a variação de

f (x)

: procuremos primeiro onde se anula a sua derivada

f^{'} (x) = 2 x - 3

Vamos resolver em

ℝ

2 x - 3 = 0

ⓘ Somamos

3

a ambos os membros

2 x = 3

ⓘ Dividimos ambos os membros por

2

Solução obtida:

x = \frac{3}{2}

f^{'} (x)

anula-se em

x = \frac{3}{2}

Formada por funções usuais,

f^{'} (x)

é contínua onde está definida: em cada intervalo onde não se anula, mantém o sinal do seu valor num ponto

f^{'} (0) = -3

< 0:

f

é decrescente em

] -∞; \frac{3}{2} [

f^{'} (2) = 1

> 0:

f

é crescente em

] \frac{3}{2}; +∞ [

Vamos calcular os valores de

f

nos extremos do quadro, ou os seus limites nos extremos infinitos ou excluídos

Quando

x

tende para

-∞

f (x)

tende para

+∞

f (\frac{3}{2}) = {(\frac{3}{2})}^{2} - 3 \cdot \frac{3}{2} = - \frac{9}{4}

Quando

x

tende para

+∞

f (x)

tende para

+∞

Vamos construir o quadro de variação:

$x$	$-∞$		$\frac{3}{2}$		$+∞$
$f^{'} (x)$		-	$0$	+
$f (x)$	$+∞$	↘	$- \frac{9}{4}$	↗	$+∞$

Portanto,

f

é decrescente em

] -∞; \frac{3}{2}]

e crescente em

[\frac{3}{2}; +∞ [

5) Vamos ler o conjunto imagem no quadro de variação

⇥Em

ℝ

f

é contínua: assume todos os valores de

[- \frac{9}{4}; +∞ [

Conjunto imagem:

[- \frac{9}{4}; +∞ [

6) No eixo das abcissas, y = 0: vamos resolver

x^{2} - 3 x = 0

Vamos resolver em

ℝ

x^{2} - 3 x = 0

Podemos fatorizar a expressão

x^{2} - 3 x

como

x \cdot (x - 3)

Um produto é nulo se e só se pelo menos um dos seus fatores for nulo: igualamos cada fator a 0 e resolvemos

⇥6.1) Vamos resolver em

ℝ

x = 0

⇥Solução obtida:

x = 0

⇥6.2) Vamos resolver em

ℝ

x - 3 = 0

⇥Solução obtida:

x = 3

No eixo das ordenadas,

x = 0

: vamos calcular f(0)

⇥

0^{2} - 3 \cdot 0

⇥ⓘ Um produto com um fator nulo é nulo:

-3 \cdot 0

0

■Somar 0 não altera o valor:

0 + 0

0

⇥

0

Interseções com os eixos:

{(0; 0); (3; 0)}

7) Vamos procurar as assíntotas de

x^{2} - 3 x

, para

x

real

x^{2} - 3 x

é um polinómio de grau

2

: está definido em ℝ e

\frac{f (x)}{x}

tende para infinito em -∞ e +∞; nenhuma reta se aproxima da sua curva

Portanto, a função não tem assíntotas

🖼/draw?f1=x%5E2+-+3*x&v=x&b=-10.0&e=10.0&min=-10.175&max=96.925

Assíntotas:

\emptyset

▶Estudo de $f (x)$ : Domínio de definição: $x \in ℝ$ ; Paridade: nem par nem ímpar; Derivada: $2 x - 3$ ; Conjunto imagem: $[- \frac{9}{4}; +∞ [$ ; Interseções com os eixos: ${(0; 0); (3; 0)}$ ; Assíntotas: $\emptyset$

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