integ(exp(-x), x, [0, +inf])

1) Antes de integrar, vamos calcular:

\exp (- x)

ⓘ Passamos o fator para o numerador ou para o denominador mudando o sinal do seu expoente, para uma base não nula:

\exp (- x)

\frac{1}{\exp (x)}

\frac{1}{\exp (x)}

2) Vamos integrar:

\int_{0}^{+∞} \frac{1}{\exp (x)} d x

Para a expressão matemática

\frac{1}{\exp (x)}

, sabendo que

{(\frac{1}{a^{n}})}^{'} = - \frac{{(n \cdot \ln (a))}^{'}}{a^{n}}

, tentamos derivar

\frac{1}{\exp (x)}

3) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (\frac{1}{\exp (x)})

Para

p1

1

q2

\exp (x)

, utilizamos a fórmula de derivação:

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

4) Vamos derivar

p1

\frac{d}{d x} (1)

ⓘ A derivada de uma constante é nula:

\frac{d}{d x} (1)

0

0

5) Vamos derivar

q2

\frac{d}{d x} (\exp (x))

ⓘ A derivada de

\exp (x)

\exp (x)

\frac{d}{d x} (\exp (x))

\exp (x)

\exp (x)

6) Avaliamos a derivada obtida (

\frac{p1}{q2}

)':

\frac{0 \cdot \exp (x) - 1 \cdot \exp (x)}{{(\exp (x))}^{2}}

ⓘ Um produto com um fator nulo é nulo:

0 \cdot \exp (x)

0

■Numa potência de uma potência, multiplicam-se os expoentes,

{(a^{n})}^{m} = a^{n m}

{(\exp (x))}^{2}

\exp (x \cdot 2)

\frac{0 - \exp (x)}{\exp (x \cdot 2)}

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 - \exp (x)

- \exp (x)

■O denominador inicial deve continuar a ser não nulo. Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador pelo seu fator comum:

- \frac{\exp (x)}{\exp (x \cdot 2)}

- \exp (x - x \cdot 2)

- \exp (x - x \cdot 2)

ⓘ Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

x - x \cdot 2

- x

- \exp (- x)

ⓘ Passamos o fator para o numerador ou para o denominador mudando o sinal do seu expoente, para uma base não nula:

- \exp (- x)

- \frac{1}{\exp (x)}

- \frac{1}{\exp (x)}

7) Depois continuamos a derivação:

ⅰ

\frac{d}{d x} (\frac{1}{\exp (x)})

- \frac{1}{\exp (x)}

- \frac{1}{\exp (x)}

A derivada calculada e a expressão matemática inicial coincidem a menos de um fator constante. Portanto, a integral é:

ⓘ A derivada de

- \frac{1}{\exp (x)}

\frac{1}{\exp (x)}

, pelo que

- \frac{1}{\exp (x)}

é uma primitiva de

\frac{1}{\exp (x)}

\int \frac{1}{\exp (x)} d x

- \frac{1}{\exp (x)}

▷

- \frac{1}{\exp (x)}

Como o extremo

+∞

é infinito, tomamos aí o limite da primitiva

Vamos avaliar o limite de

- \frac{1}{\exp (x)}

quando

x \to +∞

ⓘ É um limite conhecido da função exp

O limite de

\exp (x)

+∞

quando

x \to +∞

ⓘ Um número dividido por uma quantidade que se torna infinitamente grande tende para 0

Portanto, o limite de

- \frac{1}{\exp (x)}

0

⁻ quando

x \to +∞

8) Vamos avaliar no intervalo

[0; +∞]

\frac{1}{\exp (0)}

ⓘ Qualquer número não nulo elevado a 0 vale 1:

\exp (0)

1

▶Integral:

1

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