resolve xyy'=y^2+x*sqrt(4x^2+y^2)

Vamos resolver a equação diferencial

x y \cdot y' = y^{2} + x \cdot \sqrt{4 x^{2} + y^{2}}

, onde

y

é uma função de

x

; num intervalo onde

x > 0

y \neq 0

, podemos isolar

y'

y' = \frac{x \cdot \sqrt{4 x^{2} + y^{2}} + y^{2}}{x y}

Neste intervalo, o segundo membro só depende de

\frac{y}{x}

: a equação é homogénea. Com

v = \frac{y}{x}

, escreve-se

y' = \frac{v^{2} + \sqrt{v^{2} + 4}}{v}

Fazemos

y = v x

, onde

v

é uma função de

x

: então

y' = v + x \cdot v'

, e a equação passa a ser

v + x \cdot v' = \frac{v^{2} + \sqrt{v^{2} + 4}}{v}

, ou seja,

x \cdot v' = \frac{\sqrt{v^{2} + 4}}{v}

\frac{\sqrt{v^{2} + 4}}{v}

não se anula: separamos as variáveis,

\frac{v}{\sqrt{v^{2} + 4}} \cdot dv = \frac{dx}{x}

Fazemos

u = v^{2} + 4

, pelo que

u' = 2 v

. Como

u > 0

, com

\frac{d}{d v} (\sqrt{u}) = \frac{u'}{2 \sqrt{u}}

, obtemos

\frac{d}{d v} (\sqrt{v^{2} + 4}) = \frac{2 v}{2 \cdot \sqrt{v^{2} + 4}}

\frac{v}{\sqrt{v^{2} + 4}}

, de onde

\int \frac{v}{\sqrt{v^{2} + 4}} d v = \sqrt{v^{2} + 4}

Integrando ambos os membros, com

\int \frac{1}{x} d x = \ln | x |

pois

x \neq 0

\sqrt{v^{2} + 4} = \ln | x | + C

, onde

C

é uma constante real arbitrária, própria de cada intervalo

Substituímos

v

por

\frac{y}{x}

\sqrt{\frac{y^{2}}{x^{2}} + 4} = \ln | x | + C

Num intervalo onde

x < 0

y \neq 0

, podemos isolar

y'

y' = \frac{x \cdot \sqrt{4 x^{2} + y^{2}} + y^{2}}{x y}

Neste intervalo, o segundo membro só depende de

\frac{y}{x}

: a equação é homogénea. Com

v = \frac{y}{x}

, escreve-se

y' = \frac{v^{2} - \sqrt{v^{2} + 4}}{v}

Fazemos

y = v x

, onde

v

é uma função de

x

: então

y' = v + x \cdot v'

, e a equação passa a ser

v + x \cdot v' = \frac{v^{2} - \sqrt{v^{2} + 4}}{v}

, ou seja,

x \cdot v' = - \frac{\sqrt{v^{2} + 4}}{v}

- \frac{\sqrt{v^{2} + 4}}{v}

não se anula: separamos as variáveis,

- \frac{v}{\sqrt{v^{2} + 4}} \cdot dv = \frac{dx}{x}

Primeiro retiramos o fator

-1

da integral:

\int (- \frac{v}{\sqrt{v^{2} + 4}}) d v

- \int \frac{v}{\sqrt{v^{2} + 4}} d v

Fazemos

u = v^{2} + 4

, pelo que

u' = 2 v

. Como

u > 0

, com

\frac{d}{d v} (\sqrt{u}) = \frac{u'}{2 \sqrt{u}}

, obtemos

\frac{d}{d v} (\sqrt{v^{2} + 4}) = \frac{2 v}{2 \cdot \sqrt{v^{2} + 4}}

\frac{v}{\sqrt{v^{2} + 4}}

, de onde

\int \frac{v}{\sqrt{v^{2} + 4}} d v = \sqrt{v^{2} + 4}

, portanto,

\int (- \frac{v}{\sqrt{v^{2} + 4}}) d v = - \sqrt{v^{2} + 4}

Integrando ambos os membros, com

\int \frac{1}{x} d x = \ln | x |

pois

x \neq 0

- \sqrt{v^{2} + 4} = \ln | x | + C

, onde

C

é uma constante real arbitrária, própria de cada intervalo

Substituímos

v

por

\frac{y}{x}

- \sqrt{\frac{y^{2}}{x^{2}} + 4} = \ln | x | + C

▶Solução:

{x > 0; \sqrt{\frac{y^{2}}{x^{2}} + 4} = \ln | x | + C; y \neq 0} \cup {x < 0; - \sqrt{\frac{y^{2}}{x^{2}} + 4} = \ln | x | + C; y \neq 0}

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